1. 等边三角形的性质
在研究等边三角形内最大正方形之前，我们先来了解一下等边三角形的性质。
等边三角形是指三边相等的三角形，如下图所示：
下面是等边三角形的一些性质：
性质1：等边三角形内角都是60度。
证明：等边三角形的三条边相等，所以三个角也相等。
性质2：等边三角形的高，中线，角平分线都重合。
证明：等边三角形的三条高、三条中线和三条角平分线都相等，且都经过三角形的重心、垂心、外心，所以它们重合。
性质3：等边三角形的内切圆半径等于三角形边长的三分之一。
证明：设三角形ABC的边长为a，D、E、F分别为边BC、CA、AB上的三个圆心，则有：
AD+BD=a
BE+CE=a
AF+BF=a
因此，有：
AD=BD=CE=BE=AF=BF=a/2
由相似三角形的性质可知：
DE/AD=DF/AF=EF/BE=1/2
因此，有：
DE=DF=EF=a/2
故三角形ABC内切圆的半径r=DE=a/2*1/√3=1/2√3*a/3
2. 在等边三角形内的最大正方形
接下来，我们来研究在等边三角形内切的最大正方形大小。
我们首先考虑在一个普通三角形内切最大正方形的情况。如下图所示：
我们可以发现，在三角形内切最大正方形的时候，正方形的一边一定与三角形的一条边重合。这样，我们只需要找到一个合适的正方形边长x，使得可以将正方形完全“塞”进三角形内即可。
对于一个等边三角形来说，我们可以利用等边三角形的性质来推导最大正方形边长的公式。
2.1 推导最大正方形边长公式
如下图所示，我们可以将等边三角形ABC分成6个正三角形ABC、ABD、ACF、DFE、EFB和BDE。
在正三角形ABC中，正方形边长x=BC/2；
在三角形ABD中，正方形边长(x-AD)=BD/√2；
在三角形ACF中，正方形边长(x-AF)=CF/√2；
在三角形DFE中，正方形边长(x-DE)=DF/√2；
在三角形EFB中，正方形边长(x-BE)=EF/√2；
在三角形BDE中，正方形边长(x-BD)=DE/√2。
由于三角形ABC为等边三角形，可以得到：
AB=BC=CA=a
BD=CE=a/2
DE=AF=BF=a/2√3
添加上下面这张图，更方便理解：
由正方形的性质可知：
BC/2=BD/√2
BC/2=CF/√2
DF/√2=DE/2
两边都乘以√2，可得：
BC=BD*√2=CF*√2=DF
因此，有：
x=BC/2=BD/√2=a/2√2
故在一个等边三角形内切的最大正方形的边长为a/2√2。
2.2 确认最大正方形是否符合要求
得到这个结论之后，我们需要来验证一下是否符合要求。在刚才的图中，我们可以将最大正方形与等边三角形的高连起来得到另外的一个等边三角形，如下图所示：
可以看出，新构造的等边三角形与原等边三角形边长的关系为1:√2。
由于我们要将正方形完全“塞”进三角形内，所以得到的最大正方形必须在新构造的等边三角形内部，即它的边长不超过1/√2倍的等边三角形边长。
由上面的公式可知，最大正方形的边长为a/2√2，而等边三角形的边长为a，二者比值为1/√2，刚好满足要求。
3. 总结
在本文中，我们通过推导得出了在一个等边三角形内最大正方形的大小，证明了这个正方形可以完全“塞”进三角形内，并给出了完整的推导过程。
等边三角形是一个非常有趣的几何图形，它的一些性质和规律也是我们在数学竞赛中经常会遇到的。希望本文的内容对大家对等边三角形有更深入的了解和认识。
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using namespace std;
int main()
{
double a;
cin>>a;
cout<
return 0;
}