在C语言中，最大的Reuleaux三角形在一个正方形内

什么是Reuleaux三角形？

Reuleaux三角形，也称圆心三角形，是一种没有尖角的凸多边形。它与正三角形相同，都有三条边相等，但是Reuleaux三角形的边是曲线，而不是直线。

用数学公式来表示Reuleaux三角形：

x = 2 cos(t) + cos(3t)

y = 2 sin(t) - sin(3t)

最大的Reuleaux三角形在一个正方形内

问题描述

假设有一个正方形，它的边长为1。现在要在这个正方形中找到一个面积最大的Reuleaux三角形。顺便求一下这个最大面积。

解决思路

这是一道优化问题。我们的目标是最大化一个函数，即最大化Reuleaux三角形的面积。

首先，我们需要确定一个参数，用来描述Reuleaux三角形的大小。这个参数可以是Reuleaux三角形内切圆的半径。

由于Reuleaux三角形有对称性，我们只需要考虑其中一个第一象限内的一段曲线。我们可以用微积分的方法求出这段曲线的弧长，然后再根据几何关系求出Reuleaux三角形的面积。

接下来，我们需要找到一个算法来搜索最大的内切圆半径。这里我们可以用二分搜索的方法，从0到0.5进行搜索。对于每个半径，我们都可以求出相应的Reuleaux三角形的面积，并与已经找到的最大面积进行比较。

代码实现

下面是一份C语言的代码实现。这里用了GSL库中的数值积分函数，以及自定义的函数reuleaux和get_max_area。其中reuleaux函数计算了Reuleaux三角形内切圆的半径，get_max_area函数实现了用二分搜索方式求解最大面积。

// reuleaux.c

#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_integration.h>
#include <math.h>
#define PI 3.14159265358979323846
// 单位圆内三个顶点之间的夹角
#define THETA 2 * PI / 3
// Reuleaux三角形内切圆的半径
double reuleaux(double r) {
  gsl_integration_workspace * w
    = gsl_integration_workspace_alloc (1000);
  
  double result, error;
  double params[1] = {r};
  
  gsl_function F;
  F.function = &cos;
  F.params = &params;
  
  gsl_integration_qags (&F, 0, THETA / 2, 0, 1e-7, 1000, w, &result, &error);
  
  gsl_integration_workspace_free (w);
  
  return r * sin(THETA / 2) + 2 * result - 1;
}
// 求解最大的内切圆半径对应的Reuleaux三角形面积
double get_max_area(double l, double r) {
  double eps = 1e-6;
  while (r - l > eps) {
    double m1 = l + (r - l) / 3;
    double m2 = r - (r - l) / 3;
    double x = reuleaux(m1), y = reuleaux(m2);
    if (x > y) r = m2;
    else l = m1;
  }
  return reuleaux((l + r) / 2) * 3 - sqrt(3);
}
int main() {
  double max_area = get_max_area(0, 0.5);
  printf("The maximum area of Reuleaux triangle in a unit square is %lf.\n", max_area);
  return 0;
}