1. 理解二分查找算法
二分查找算法（Binary Search Algorithm），又称折半查找，是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。该算法对于有序数组的查找效率很高，是常见的搜索算法之一。其基本思路为：将所要查找的元素与数组的中间元素进行比较，如果相等，则查找成功。如果所要查找的元素小于中间元素，则在数组的左半部分继续查找，否则在数组的右半部分继续查找。如此不断缩小查找范围，直到查找成功或失败为止。
二分查找的时间复杂度为O(logn)，因为每次查找都能将查找范围缩小一半，而有序数组的元素数量为n。
1.1 二分查找算法流程
二分查找算法的流程如下：
首先确定整个查找区间的中间位置mid=(left+right)/2；
然后将待查找的值与中间位置的值进行比较，若待查找的值比中间位置的值小，则在数组的左半部分继续查找；若待查找的值比中间位置的值大，则在数组的右半
部分继续查找；若待查找的值与中间位置的值相等，则查找成功；
如果查找失败，则继续将查找区间分成左右两个区间，分别在左右两个区间中继续进行二分查找。
1.2 二分查找算法实现
int binary_search(int a[], int n, int key)
{
int left = 0;
int right = n - 1;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(a[mid] == key)
{
return mid;
}
else if(a[mid] < key)
{
left = mid + 1;
}
else
{
right = mid - 1;
}
}
return -1;
}
以上代码是一个简单的二分查找算法的实现。该算法接收一个有序数组a[]，数组元素个数n，以及待查找的key。在while循环中，我们首先计算出中间位置mid，然后将待查找的值与中间位置的值进行比较，如果两者相等，则查找成功。如果待查找的值比中间位置的值小，则在数组的左半部分继续查找；否则在右半部分继续查找。当left > right时，表示查找失败，直接返回-1。
2. 有理数的表示
有理数是形如p/q的数，其中p,q皆为整数且q!=0，表示一个有理数 p/q 。
2.1 有理数的加减乘除
有理数在加减乘除方面的运算规则与整数类似，只要求分子分母分别进行相应的运算即可，例如：
1/2 + 2/3 = (1×3 + 2×2) / (2×3) = 7/6
1/2 - 2/3 = (1×3 - 2×2) / (2×3) = -1/6
1/2 × 2/3 = (1×2) / (2×3) = 1/3
1/2 ÷ 2/3 = (1×3) / (2×2) = 3/4
在进行四则运算时，我们可以根据需要对有理数进行通分处理，以便进行运算。通分后，我们可以直接对分子进行相应的运算，而分母不参与运算，最后将结果约分即可。
2.2 有理数的比较
有理数可以使用分数比较大小的方法比较大小。具体方法是先将两个有理数通分，然后比较分子的大小。如果分子相等，则比较分母的大小。
例如：比较 1/2 和 3/4 的大小，首先将两个有理数通分，得到：
1/2 = 2/4，3/4不用变化
2/4 < 3/4，所以1/2 < 3/4
这个方法与整数直接比较大小的方法类似，只不过需要多一步通分操作。
3. 二分查找有理数
在C程序中，我们可以将有理数表示为一个结构体，结构体中包含一个分子和一个分母。例如：
struct RationalNumber
{
int numerator; // 分子
int denominator; // 分母
};
有了这个结构体，我们就可以用二分查找算法来搜索有理数了。假设我们要在一个有序数组中查找某个有理数r=p/q，我们可以选择将其转化为分数形式 p×10^6/q ，并且将数组中每个有理数也转化为分数形式，然后利用二分查找算法进行查找。
3.1 有理数转分数
将有理数转化为分数的方法很简单，只需要将分子乘以10^6，然后除以分母即可。例如：3/4 可以转化为：
3 × 10^6 / 4 = 750000
那么我们可以将有序数组中的每个有理数都转化为分数形式，并存放在一个新的数组中，然后再对该数组进行二分查找。
3.2 二分查找有理数实现
以下是二分查找有理数的C程序实现。
int binary_search(struct RationalNumber a[], int n, struct RationalNumber key)
{
int left = 0;
int right = n - 1;
long long int x = key.numerator * 1000000 / key.denominator; // 转化为分数形式
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
long long int y = a[mid].numerator * 1000000 / a[mid].denominator; // 转化为分数形式
if(y == x) // 找到相等的元素
{
return mid;
}
else if(y < x) // 查找右半区间
{
left = mid + 1;
}
else // 查找左半区间
{
right = mid - 1;
}
}
return -1; // 查找失败
}
在该代码中，我们首先将待查找的有理数key转化为分数形式，然后在while循环中将有序数组中的每个有理数也转化为分数形式，进行二分查找。如果查找成功，则返回该有理数在数组中的下标；否则返回-1，表示查找失败。
4. 总结
二分查找算法是一种高效的搜索算法，在有序数组的查找中用得非常多。本文通过讨论二分查找算法的原理和实现，介绍了如何使用二分查找算法来搜索有理数。有理数的表示也是本文重点讨论的内容之一，通过对有理数加减乘除和比较的讨论，我们可以更好地理解有理数的性质。
总的来说，本文旨在帮助读者更深入地理解二分查找算法和有理数的知识，以及如何将它们结合起来解决实际问题。在实际开发中，我们也可以将本文介绍的思路和方法应用到其他问题的解决中。希望读者通过本文的学习，能够掌握基本的算法思想和实现技巧，提高自己的编程能力。