在C++中,Motzkin数

1. Motzkin数的概念

Motzkin数是指由0, 1和2组成的长度为n的序列中,不互相交叉的不同路径数。即在一条路径上,任何后面的点都不能穿过之前的点。

设M(n)为n阶Motzkin数,则有以下三种情况:

最高点为0,则有M(n-1)条路径。

最高点为1,则有n-1个位置可以放置这个点,每个位置的长度为n-2的序列有M(n-2)种可能,故此情况下有(n-1)M(n-2)条路径。

最高点为2,则有n-1个位置可以放置这个点,每个位置的长度为n-2的序列有M(n-1)种可能,故此情况下有(n-1)M(n-1)条路径。

因此,M(n)可以用以下递推公式计算:

int Motzkin(int n) {

if (n <= 1) {

return 1;

}

int ans = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) {

ans += Motzkin(i) * Motzkin(n - i - 1);

}

for (int i = 0; i < n - 2; i++) {

ans += (n - 1) * Motzkin(i) * Motzkin(n - i - 2);

}

return ans;

}

2. Motzkin数的计算方法

2.1 暴力枚举

暴力枚举是一种最简单的计算Motzkin数的方法,但它的时间复杂度高达O(3^n)。

int count(int n) {

if (n == 0) return 1;

if (n == 1) return 1;

if (n == 2) return 2;

int sum = count(n - 1) + count(n - 2);

for (int i = 2; i < n; i++) {

sum += count(i - 1) * count(n - i);

}

return sum;

}

2.2 递推

递推是一种时间复杂度为O(n^2)的计算Motzkin数的方法。它的思想是通过M(n-1)、M(n-2)、...、M(0)计算出M(n)。

vector Motzkin(101);

void Init() {

Motzkin[0] = Motzkin[1] = 1;

Motzkin[2] = 2;

for (int i = 3; i <= 100; i++) {

Motzkin[i] = Motzkin[i - 1] + Motzkin[i - 2];

for (int j = 0; j < i - 2; j++) {

Motzkin[i] += Motzkin[j] * Motzkin[i - j - 3] * (j + 2);

}

}

}

3. Motzkin数的应用

3.1 求连通无向图生成树个数

对于一张n个点的连通无向图,它的生成树个数可以表示为下面的式子:

int CountGraphTree(int n) { return Motzkin(n); }

证明可以参考这篇文章。

3.2 求Dyck路径数量

Dyck路径是一种特殊的$n * n$方格图,由2×1的砖块构成,满足以下两个条件:

不会穿过x轴,即任意时刻在路径上x轴上方的格子数量都大于等于x轴下方的格子数量;

在任意时刻x轴上方的格子数量不大于1。

对于一个n×n的Dyck路径图,它的Dyck路径数量可以表示为:

int CountDyck(int n) { return Motzkin(n) - Motzkin(n - 1); }

证明可以参考这篇文章。

4. 总结

Motzkin数的计算涉及到组合数学、递推等多方面知识,因此多次被用作算法竞赛中的一道经典题目。另外,Motzkin数的应用也是非常广泛的,如图论、组合数学等领域中。

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