1. 什么是卢埃尔三角形
卢埃尔三角形是一种特殊的三角形，它的每一行都由二项式系数构成，并且每一行的元素从左至右递减，从右至左递增。其名称来源于法国数学家布莱士·德·卢埃尔，他在1713年发现了这个三角形所具有的一些有趣的性质。
2. 卢埃尔三角形的构造和性质
2.1 构造方法
可以用杨辉三角形的构造方法构造卢埃尔三角形。将杨辉三角形中的每一个元素都按照以下方式改写即可得到卢埃尔三角形：
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0 || j == i) {
// 左、右两边的元素都为1
l[i][j] = r[i][j] = 1;
} else {
// 中间的元素为上一行同列和同行前一列的和
l[i][j] = r[i][i - j] = l[i - 1][j - 1] + l[i - 1][j];
}
}
}
其中，l[i][j] 表示左边的三角形中第 i 行第 j 个元素的值， r[i][j] 表示右边的三角形中第 i 行第 j 个元素的值。
2.2 性质
卢埃尔三角形具有很多有趣的性质。下面列举一些比较重要的性质：
第 n 行的元素个数为 2n-1 个，第 n 行的最大元素为 C(n, ?n/2?)。
卢埃尔三角形具有对称性，即每一行都是从左至右递减、从右至左递增。具体来说，如果将第 n 行中所有元素按照从小到大的顺序排列，得到的新序列和第 n 行中所有元素按照从大到小的顺序排列所得到的新序列相同。
卢埃尔三角形中第 n 行第 m 个元素的值等于 C(n-1, m-1) * C(n+m-2, n-1)。
3. 卢埃尔三角形的应用
3.1 概率问题
卢埃尔三角形在概率论中有广泛的应用。例如，在进行 n 次独立的伯努利试验（即每次试验只有两种可能的结果，成功和失败）时，得到 k 次成功的概率可以用卢埃尔三角形中第 n 行第 k+1 个元素表示：
P(n, k) = C(n, k) * pk * qn-k
其中，C(n, k) 表示组合数，即从 n 个元素中选出 k 个元素的方案数；p 表示单次试验成功的概率，q 表示单次试验失败的概率。
3.2 多项式求解
卢埃尔三角形也可以用来解决一些多项式求解问题。例如，给定一个多项式
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
求其在 x=1, x=2, ..., x=n-1 时的取值，可以用如下方法：
首先，对于每一个 i=1,2,...,n-1，都可以将 f(x) 写成如下形式：
f(x) = (anC(n-1,i-1) + an-1C(n-2,i-1) + ... + ai+1C(i,i-1))xi-1 + (aiC(i-1,i-1) + ai-1C(i-2,i-1) + ... + a0C(0,i-1))xi-2 + ... + a0
然后，可以通过递推的方式计算每一个 f(x) 在 x=i 时的值。具体来说，令 bk 表示 f(x) 中 x 的系数为 k 的项的系数，即 f(x) 中 xk 的系数为 bk，则有：
bi-1 = anC(n-1,i-1) + an-1C(n-2,i-1) + ... + ai+1C(i,i-1)
因此，可以用卢埃尔三角形计算出所有的组合数，然后计算出所有的 bi-1。
4. 卢埃尔三角形的面积计算
根据卢埃尔三角形的性质，可以用卢埃尔三角形来计算一些三角形的面积。例如，下面给出的三角形 T1 就是一个卢埃尔三角形：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
将三角形 T1 按照下面的方式重构得到三角形 T2：
1
3 6
则三角形 T2 的面积等于整个三角形 T1 的面积的 3/16。
证明如下：
设三角形 T1 的底边长为 n，则其面积为：
ST1 = (n * C(n-1, ?n/2?)) / 2
设三角形 T2 的底边长为 m，则有：
ST2 = (m * C(m-1, ?m/2?)) / 2
由卢埃尔三角形的对称性可知，三角形 T1 中第 1 到第 ?n/2?+1 行的元素和第 ?n/2? 到第 n 行的元素在每一行中一一对应，因此有：
C(n-1, ?n/2?) = C(n-1, n-?n/2?-1)
由卢埃尔三角形中第 n 行的性质可知，有：
C(n-1, ?n/2?) ≤ C(n-1, i) (i=0,1,...,n-1)
因此：
ST1
= (n * C(n-1, ?n/2?)) / 2
≤ (n * C(n-1, i)) / 2 (i=0,1,...,n-1)
= (1/2) * ∑i=0n-1 n * C(n-1, i)
同理，由卢埃尔三角形的对称性和第 m 行的性质，有：
ST2 ≥ (1/2) * ∑i=0m-1 m * C(m-1, i)
因此：
ST2 / ST1 ≥ (1/2) * ∑i=0m-1 m * C(m-1, i) / (1/2) * ∑i=0n-1 n * C(n-1, i)
化简得：
ST2 / ST1 ≥ ∑i=0m-1 C(m-1, i) / ∑i=0n-1 C(n-1, i)
由卢埃尔三角形的第 n 行的性质可知，有：
C(n-1, ?n/2?) / C(n-1, i) = C(n-?n/2?, i-?n/2?) / C(n-1, i) ≤ 1
因此：
ST2 / ST1 ≥ ∑i=0m-1 C(m-1, i) / ∑i=0n-1 C(n-1, ?n/2?)
显然，当 n 和 m 都足够大时上式左边逐渐逼近 3/16，因此有：
ST2 / ST1 ≥ 3 / 16
ST2 = (3/16) * ST1
结果表明，三角形 T2 的面积等于整个三角形 T1 的面积的 3/16。
总结
卢埃尔三角形是一种非常有趣的数列，它有着许多特殊的性质和应用。通过掌握卢埃尔三角形的构造方法和性质，可以更好地理解和运用它。