内切于菱形的圆的面积是多少？

1. 引言

在几何学中，圆和菱形都是常见形状。我们可以将一个圆放在一个菱形内，或将一个菱形内切于一个圆内。本文将重点研究内切于菱形的圆的面积，并给出具体公式和推导过程。

2. 内切于菱形的圆

2.1 圆和菱形的定义

在正式开始之前，我们先来了解圆和菱形的定义。

定义1：圆是一个平面上所有点到圆心的距离相等的图形。

定义2：菱形是一个四边形，其四条边相等，对角线相交且平分角的图形。

2.2 内切于菱形的圆

将一个圆放在一个菱形内或将一个菱形内切于一个圆内都是很容易的。但是，内切于菱形的圆却不是这样一个直接的过程。下面我们来看一下内切于菱形的圆的例子。

如上图所示，红色的圆内切于菱形ABCD。我们设该圆的半径为r，菱形ABCD的长和宽分别为p、q。

3. 推导内切于菱形的圆的公式

3.1 内切圆的性质

首先，我们需要了解内切圆的一些性质，这些性质可以帮助我们推导出内切于菱形的圆的公式。

性质1：内切圆的圆心在菱形的重心G处。

性质2：内切圆的半径等于菱形某一条边长和内切圆切此边所抵消的菱形边长之差的一半。

如上图所示，内切圆的圆心O在菱形的重心G处。内切圆的半径r等于菱形AC的长度p和q之差的一半。

3.2 推导内切于菱形的圆的公式

接下来，我们将利用上述内切圆的性质推导出内切于菱形的圆的公式。

由性质1可得，菱形的重心G为

G(x,y) = ((A.x+B.x+C.x+D.x)/4, (A.y+B.y+C.y+D.y)/4)

其中(A,B,C,D)为菱形的四个顶点坐标。

由性质2可得，内切圆的半径r等于菱形AC的长度p和q之差

diff = abs(p-q);

r = diff / 2;

于是，内切于菱形的圆的面积可以表示为

S = π * r * r

将r的值代入上式可得

S = π * (abs(p-q)/2)^2

于是，我们得到了内切于菱形的圆的面积的公式：

S = π * ((p-q)/2)^2

4. 结论

本文研究了内切于菱形的圆的面积，并推导出了具体的公式。根据该公式，我们可以很方便地计算内切于菱形的圆的面积。

5. 参考文献

[1] Gilbert Strang. (1993). Linear Algebra and Its Applications. Cengage Learning.

[2] David Poole. (2011). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning.