使用树状数组「离线查询」，将范围L到R中大于K的元素数量计算出来

介绍

本篇文章将会介绍使用树状数组离线查询大于某一特定值的元素数量。该算法是处理数列区间查询问题的经典算法之一，在ACM竞赛中经常用到。这种算法对于非常大的数列查询非常友好，并且时间复杂度通常为O(N * logN)，其中N为数列长度。

树状数组简介

树状数组是一种用于高效计算前缀和的数据结构，它能够快速回答一些可以转换成前缀和的操作，例如区间求和或者单点值求和。它具有一种非常巧妙的设计，可以让它在较小的空间内完成区间查询操作。

使用树状数组的原理是将一个序列拆分成log(N)层，每一层的区间大小为 2^(i-1) ~ 2^(i) 。对于每一层i，我们已经在第i-1层中计算出了所有区间变量的和，我们可以使用这个特性来快速回答任意区间的查询请求。

算法设计思路

我们假设数列为A，长度为N，且最大值为V。我们可以创建一个转换后的数列B，其中B[i]表示数列A中前i个元素的值大于K的元素数量。所以对于范围为[L,R]的查询，我们可以使用查询B[R] - B[L-1]来计算。接下来，我们使用树状数组来计算转换后的序列B。

将数列进行离散化

在使用树状数组之前，我们需要对原数列进行离散化，使之能够在树状数组中使用。也就是将原数列中的元素值离散化为0 ~ V。这可以通过使用一个排序并去重的操作来完成。

vector values;

...
n = values.size();
unordered_map map;
int num = 0;
for (int i=0; i
    if (map.find(values[i]) == map.end()) {
        map[values[i]] = num++;
    }
}

树状数组实现

接下来我们需要创建树状数组，初始化数组中的元素都为0。我们需要一些基本函数，如update()和query()，用于更新和查询树状数组。在更新操作中，我们需要在每个该元素所属的层级上增加1。为了计算易于理解，在树状数组中0位置处也需要增加1。

int bit[N];

int lowbit(int k) {
    return k & -k;
}
void update(int x, int v) {
    while (x <= n) {
        bit[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}
int query(int x) {
    int res = 0;
    while (x) {
        res += bit[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}
memset(bit, 0, sizeof(bit));
for (int i=0; i
    int v = map[values[i]];
    res[i] = i - query(v) + 1;
    update(v+1, 1);
}

性能分析

树状数组的时间复杂度通常为O(N*logN)，其中N为数列长度。

结论

本篇文章介绍了如何使用树状数组离线查询大于某一特定值的元素数量。该算法具有非常良好的性能，并且可以处理非常大的数列区间查询问题。在实现该算法时，我们需要将原数列进行离散化。这个操作可以通过简单地进行去重后排序来实现。接下来我们需要实现树状数组，并且使用它来计算处理后的序列。该算法时间复杂度通常为O(N * logN)。