使用直接公式打印前 n 个斐波那契数

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是一种数学上的序列，其中每个数字都是前两个数字的和。斐波那契数列的前几个数字为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……

斐波那契数列中的数字有很多有趣的应用，比如在自然界中常见的菜花、向日葵等，它们的花瓣数就是斐波那契数列中的数字。此外，斐波那契数列还应用于金融、生物学等领域。

如何使用直接公式计算斐波那契数列？

使用公式

斐波那契数列的通项公式为：

其中 F_n 表示第 n 个斐波那契数。

该公式虽然简单，但计算效率不高，因为需要进行开方和幂运算。下面介绍一种更高效的计算方法——矩阵快速幂。

使用矩阵快速幂

矩阵快速幂是一种高效的算法，可以用于快速计算任意次幂。在计算斐波那契数列时，可以利用矩阵快速幂的思想，将其转化为矩阵的形式。

斐波那契数列的递推式为：

我们可以把斐波那契数列的前两个数写成一个向量：

然后，将递推式表示成矩阵形式：

这样，我们就可以利用矩阵快速幂的算法，快速计算出斐波那契数列。

#include
#include
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 3;
//矩阵乘法 
void matmul(long long a[maxn][maxn],long long b[maxn][maxn])
{
    long long ans[maxn][maxn] = {0};
    for(int i = 1 ; i <= 2 ; i++){
        for(int j = 1 ; j <= 2 ; j++){
            for(int k = 1 ; k <= 2 ; k++){
                ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                ans[i][j] = ans[i][j] % MOD;
            }
        }
    }
    for(int i = 1 ; i <= 2 ; i++){
        for(int j = 1 ; j <= 2 ; j++){
            a[i][j] = ans[i][j];
        }
    }
    return;
}
//矩阵快速幂 
long long matpow(long long a[maxn][maxn],int b)
{
    long long ans[maxn][maxn] = {0};
    for(int i = 1 ; i <= 2 ; i++){
        ans[i][i] = 1;
    }
    while(b != 0){
        if(b & 1) matmul(ans,a);
        matmul(a,a);
        b >>= 1;
    }
    return ans[1][1];
}
int main ()
{
    int n = 10;
    long long a[maxn][maxn] = {0};
    a[1][2] = a[2][1] = a[2][2] = 1;
    printf("前 %d 个斐波那契数为：\n",n);
    for(int i = 0 ; i < n ; i++){
        printf("%lld ",matpow(a,i));
    }
    return 0;
}

总结

本文介绍了两种计算斐波那契数列的方法：直接使用通项公式和利用矩阵快速幂算法。通项公式虽然简单，但计算效率不高，而矩阵快速幂算法可以快速、高效地计算出斐波那契数列。

当然，矩阵快速幂算法并不局限于斐波那契数列的计算，它可以应用于各种快速幂计算，例如求幂、Fibonacci数列的第N项等等。