1. 概述
这篇文章将介绍一种使用C++编写的解决集合自反关系数量的方法。首先，我们需要了解一下什么是集合和自反关系。
1.1 什么是集合
在数学上，集合是指由一些确定的、无序的、互不相同的对象构成的整体。
对于一个集合S，我们表示为：S={a1, a2, ..., an}，其中a1, a2, ..., an是该集合的元素。
1.2 什么是自反关系
自反关系是指对于一个集合S中的任意元素a，(a, a)都是S上的元素。
对于一个集合S，若(a, a)∈S，那么我们称S为自反关系。
2. 方法实现
2.1 预处理
在使用C++编写求解自反关系数量的代码之前，我们需要先对于输入的集合进行预处理，将集合中的元素转化为一些数值表示，方便我们进行后续的计算。
我们首先使用STL库中的set容器对集合进行去重，得到一个无序的元素集合。然后，我们使用vector容器对集合中的元素进行排序，以方便后面进行二分查找。
// 处理集合
set<string> s_set(s.begin(), s.end());
vector<string> s_vec(s_set.begin(), s_set.end());
sort(s_vec.begin(), s_vec.end());
2.2 暴力枚举
最简单的方法就是暴力枚举所有可能的自反关系，然后判断其是否满足自反关系的定义。具体来说，我们使用两个for循环枚举集合中的元素，如果当前元素和另一个元素相等，则将它们组成一个二元组，放入一个数组中。
然后，我们使用一个bool数组来记录每个二元组是否在自反关系中出现过。最后，我们遍历所有的二元组，如果它们都出现过，则说明当前的关系是自反关系，我们就将自反关系的数量加1。
// 暴力枚举自反关系
vector<pair<int, int>> relation;
for (int i = 0; i < s_vec.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < s_vec.size(); ++j) {
if (i != j) {
relation.emplace_back(i, j);
}
}
}
int n = (int)relation.size();
vector<bool> used(n, false);
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int x = relation[i].first, y = relation[i].second;
if (s_vec[x] == s_vec[y]) {
used[i] = true;
}
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
bool ok = true;
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (used[j]) continue;
int x = relation[j].first, y = relation[j].second;
if (s_vec[x] == s_vec[y] || (i != j && ((x == relation[i].first && y == relation[i].second) || (x == relation[i].second && y == relation[i].first)))) {
used[j] = true;
} else {
ok = false;
}
}
if (ok) cnt++;
}
然而，这种暴力的枚举方法的时间复杂度很高，达到了O($n^3$)($n$为元素个数)，对于规模较大的集合来说，计算时间将会非常长。
2.3 二分查找
为了降低时间复杂度，我们可以优化暴力枚举的过程。具体来说，我们将暴力枚举中的第二个for循环改为二分查找，对于每一个元素，我们只需要在已排序的元素数组中查找是否有和它相等的元素。
这样做的时间复杂度降到了O($n^2$$\log n$)。
// 使用二分查找
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < s_vec.size(); ++i) {
int pos = lower_bound(s_vec.begin(), s_vec.end(), s_vec[i]) - s_vec.begin();
if (pos < s_vec.size() && s_vec[pos] == s_vec[i]) {
cnt++;
}
}
2.4 优化
上述方法的时间复杂度还是不够优秀，接下来我们对其进行一些优化。
2.4.1 计算二元组
我们直接计算每个二元组的数量，然后再遍历二元组进行判断就会超时，因此我们需要对计算二元组的数量进行优化。
我们可以考虑从集合的元素出发，分别计算它的左侧和右侧各有多少元素。然后呢，我们只需要将左侧元素的数量乘以右侧元素数量就可以得到以该元素为起点的二元组的数量。
例如，对于集合S={a,b,c}，我们可以得到元素a的左侧元素数量为0，右侧元素数量为2，那么以a为起点的二元组数量为0*2=0。
接下来我们可以用一个vector
// 计算二元组数量
vector<int> left(s_vec.size()), right(s_vec.size());
for (int i = 1; i < s_vec.size(); ++i) {
if (s_vec[i] == s_vec[i-1]) {
left[i] = left[i-1] + 1;
} else {
left[i] = left[i-1];
}
}
for (int i = (int)s_vec.size()-2; i >= 0; --i) {
if (s_vec[i] == s_vec[i+1]) {
right[i] = right[i+1] + 1;
} else {
right[i] = right[i+1];
}
}
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < s_vec.size(); ++i) {
if (left[i] >= 1 && right[i] >= s_set.size()-1) {
cnt++;
}
}
2.4.2 二分查找优化
我们在计算二元组时，需要对于每个元素进行一遍二分查找，其时间复杂度为O($n$$\log n$)。我们可以将这个二分查找优化为O($\log n$)。
我们考虑对于每个元素，都预处理出其在数组中的左右位置，然后可以用O(1)的时间复杂度获取到左侧和右侧元素的数量。
// 左侧和右侧的位置
vector<int> left_pos(s_vec.size(), -1), right_pos(s_vec.size(), -1);
for (int i = 0; i < s_vec.size(); ++i) {
int pos = lower_bound(s_vec.begin(), s_vec.end(), s_vec[i]) - s_vec.begin();
left_pos[pos] = i;
right_pos[pos] = max(right_pos[pos], i);
}
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < s_vec.size(); ++i) {
int l = left_pos[i], r = right_pos[i];
if (l >= 0 && r >= 0 && r-l+1 >= (int)s_set.size()) {
cnt++;
}
}
3. 总结
本文提供了两种不同的解决集合自反关系数量的方法，其中暴力枚举虽然简单，但是时间复杂度较高，不适用于规模较大的集合。而使用二分查找的方法，虽然已经对时间复杂度进行了优化，但是仍然有一些改进的空间，例如在处理二元组时，我们还可以从性质出发，利用已有的信息对计算时间进行进一步的缩短。
除此之外，我们还可以使用人工智能相关的算法对于自反关系进行判断，例如神经网络等，这样可以为我们提供更加高效的计算方法。