1. 题目背景
在计算机科学的领域中，二进制数是最基本的数据表示方法之一。在处理二进制数据时，经常需要考虑二进制字符串的排列问题。
2. 问题描述
给定一个长度为 n 的二进制字符串，找出所有以 1 开头的唯一排列的数量。
例如，对于二进制字符串“1100”，以 1 开头的唯一排列包括“1100”和“1010”，因此唯一排列的数量为 2。
3. 解题思路
3.1 使用回溯法
回溯法是一种求解排列和组合问题的常用方法。具体来说，回溯法会从问题的初始状态开始搜索所有可能的解决方案，并通过剪枝操作来减少不必要的搜索。
在本题中，我们可以通过回溯法来生成所有以 1 开头的唯一排列。具体地，我们可以按照以下步骤进行：
初始化一个长度为 n 的布尔数组 used，表示每个二进制位是否已经被使用。
初始化一个计数器 count。
从第一个二进制位开始对字符串进行搜索。对于每个未使用的二进制位，如果该位是 1，则将其标记为已使用，并向下递归。
递归时，如果当前搜索到了字符串的末尾（即搜索到了第 n 个二进制位），则将 count 加一。
如果当前搜索的二进制位是 0，则直接跳过。
如果当前搜索的二进制位是 1，但已经被使用过了（即 used[i] 为 true），则直接跳过。
回溯时，将当前搜索的二进制位标记为未使用，并返回上一层递归。
以下是使用回溯法的 C++ 代码：
int count = 0;
void backtrack(string& s, vector<bool>& used, int pos) {
if (pos == s.size()) {
count++;
return;
}
if (s[pos] == '0') {
backtrack(s, used, pos + 1);
} else {
for (int i = pos; i < s.size(); i++) {
if (s[i] == '1' && !used[i]) {
used[i] = true;
backtrack(s, used, pos + 1);
used[i] = false;
}
}
}
}
int uniquePermutationCount(string s) {
vector<bool> used(s.size(), false);
backtrack(s, used, 0);
return count;
}
3.2 使用动态规划
除了使用回溯法之外，我们还可以使用动态规划来求解本题。具体来说，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以 1 开头的唯一排列数量，其中第 i 个二进制位为 1 且前 i 个二进制位中有 j 个已经被使用。
我们可以按照以下公式递推计算 dp[i][j]：
如果 s[i] = 0，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
如果 s[i] = 1 且 j = 0，则 dp[i][j] = 1。
如果 s[i] = 1 且 j > 0，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。
最终我们需要求取的答案为 dp[n-1][k-1]，其中 n 是字符串的长度，k 是以 1 开头的唯一排列的数量。
以下是使用动态规划的 C++ 代码：
int uniquePermutationCount(string s) {
int n = s.size();
int k = count(s.begin(), s.end(), '1');
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(k));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= min(i, k-1); j++) {
if (s[i] == '0') {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else if (j == 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n-1][k-1];
}
4. 总结
本题的求解方法包括使用回溯法和动态规划。回溯法的时间复杂度为 O(2^n)，动态规划的时间复杂度为 O(nk)，其中 n 是字符串的长度，k 是以 1 开头的唯一排列的数量。两种方法的空间复杂度均为 O(nk)。
相比之下，动态规划虽然时间复杂度更低，但空间复杂度更高。在实际应用中需要综合考虑各种因素选择合适的算法。