1. 前言
最短路径算法是图论中的重要概念，是求解带权图中从一个顶点出发到另一个顶点的最短路径的问题。有许多种算法可以求解最短路径，其中Dijkstra算法是比较常用的一种。
2. Dijkstra算法简介
在有向图或者无向图中，每个边都带有权重，Dijkstra算法可以从一个起点开始找到到图中所有其他顶点的最短路径。
2.1 算法思想
Dijkstra算法采用的是一种贪心的策略，声明一个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和一个数组path来保存源点到当前顶点的最短路径（点的编号从0开始）。初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 （dis[s] = 0）。若对于顶点 i 有直接的边能到达，即i与s有边，那么将dis[i]的值设为e[s][i]，同时将path[i]的值设为s。
接着，我们需要将节点分成两部分：已经求出最短路径的节点集合 P 和未求出最短路径的节点集合 Q。
初始时，集合 P 中只有起点 s；Q 中是除去 P 的所有节点。现在开始一次循环，每次从 Q 中取一个节点 u，作为中介点进行松弛操作。进行松弛操作是指，对于 u 的每一条出边，更新与 u 相邻接的节点（如果在 Q 中）的值。具体更新如下：
如果 dis[u] + e[u][i] < dis[i]，则更新dis[i]的值，并将i加入到路径中，更新path[i]=u；
重复这个过程，直到集合 Q 为空。最终dis数组中存储的就是起点到各个顶点的最短路径长度，path数组中存储的是起点到各个顶点的最短路径上的各个顶点。
2.2 算法时间复杂度
Dijkstra算法最坏时间复杂度为O(n^2)，但是在稠密图中表现非常优秀。由于其用了小根堆（二叉树）来优化，所以在稀疏图中也可以表现得很优秀。因为堆的加入和删除操作都要花费logN的时间，应该离散的节点非常多才会使算法瓶颈到堆操作上。
3. C++实现
以下是用C++实现Dijkstra算法的代码。
#include
#include
#include
#include
#define MAXN 10005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct Edge {
int v, w;
Edge(int _v, int _w) : v(_v), w(_w) {}
};
vector G[MAXN];
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
void Dijkstra(int s) {
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
memset(vis, false, sizeof(vis));
dis[s] = 0;
priority_queue, vector >, greater > > q; // 小根堆
q.push(make_pair(dis[s], s));
while(!q.empty()) {
pair cur = q.top(); q.pop();
int u = cur.second;
if(vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i].v, w = G[u][i].w;
if(dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
q.push(make_pair(dis[v], v));
}
}
}
}
int main() {
int n, m, s, t;
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);
int u, v, w;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
G[u].push_back(Edge(v, w));
G[v].push_back(Edge(u, w)); // 无向图需要添加反向边
}
Dijkstra(s);
printf("%d\n", dis[t]);
return 0;
}
3.1 代码解释
下面对上述代码进行解释。
首先，定义了一个结构体 Edge，表示图的一条边。在vector G[MAXN]中，G[u]存储u节点的所有出边，每条出边记录了终点v以及边权w。
其次，定义了数组dis和vis，分别用于记录源点到各节点的最短距离和该节点是否已经访问过。初始时所有节点的距离均设为INF，表示不可达。
在函数Dijkstra中，我们将初始节点的dis值设为0，并将该节点加入到小根堆中。然后进行while循环，每次从小根堆中取出dis值最小的节点作为中介点进行松弛操作。如果节点u的距离dis[u]已经被确定，就不需要重复访问。
再次思考Dijkstra算法，对于源点s到每一个顶点v，Dijkstra算法只会通过上述while循环松弛所有与s直接相邻的边。由于smaller edge中最小的边被选为u，因此我们只需松弛所有和u直接相邻的边，也仅仅需要O(n)的时间。因此总时间复杂度为O(n^2)。
3.2 算法应用
Dijkstra算法被广泛应用于计算两点间的最短路径，例如路由算法、制定行车路径等。
在图论中，最短路问题是一个基本问题，也是其他问题的基础。因此，深入理解和掌握Dijkstra算法的实现原理和应用场景，具有重要的意义。
4. 结语
本篇文章详细介绍了Dijkstra算法的思想、时间复杂度以及实现过程。尽管Dijkstra算法虽然时间复杂度较高，但是其思想对研究其他最短路径算法起到了很大的指导性作用。因此，在进行最短路径的计算中，要根据实际情况选择合适的算法。