1. 最大公约数
最大公约数（GCD）指两个或多个整数共有约数中最大的一个。在c语言中，可以通过欧几里得算法（辗转相除法）来求出最大公约数。
1.1 欧几里得算法
欧几里得算法的基本思想是用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
举个例子，假设我们要求30和45的最大公约数。根据欧几里得算法，可以进行如下的计算：
int a = 30, b = 45, c;
while (b != 0) {
c = a % b;
a = b;
b = c;
}
printf("最大公约数为：%d", a);
做一个简单说明：首先让a=30，b=45，然后求30除以45的余数，余数为30，将b的值赋值给a，将余数赋值给b，即a=45，b=30。之后再将45除以30，余数为15，继续上一步的操作，直到余数为0时，即可得到最大公约数。
1.2 更相减损术
更相减损术是中国传统的一种求最大公约数的方法。其基本思想是，对两个正整数a,b（a > b），如果它们的差值a-b比较小，那么它们的最大公约数就是a-b和b的最大公约数；否则，a,b的最大公约数等于a-b和b的最大公约数的最大公约数。反复进行这个操作，直到找出最大公约数为止。
举个例子，假设我们要求30和45的最大公约数。根据更相减损术，可以进行如下的计算：
int a = 30, b = 45;
while (a != b) {
if (a > b) {
a -= b;
} else {
b -= a;
}
}
printf("最大公约数为：%d", a);
做一个简单的说明：首先让a=30，b=45，然后计算它们的差值，即a-b=15，将15赋值给a，将b的值赋值给b（即a=15，b=45）。之后再计算45减去15的值，将结果再赋值给b，即a=15，b=30。重复上一步的操作，直到a=b时，即可得到最大公约数。
2. 最小公倍数
最小公倍数（LCM）指多个整数各自的倍数中最小的一个。在c语言中求最小公倍数也可以用欧几里得算法来实现。
2.1 求最小公倍数
求两个数的最小公倍数的方法是先求出它们的最大公约数，然后用两数的乘积除以最大公约数，就可以得到它们的最小公倍数。
举个例子，假设我们要求6和8的最小公倍数。首先求它们的最大公约数，有：
int a = 6, b = 8, c;
while (b != 0) {
c = a % b;
a = b;
b = c;
}
运算完后，a的值就是它们的最大公约数，即a=2。然后可以用a去求它们的最小公倍数，有：
int lcm = 6 * 8 / a;
printf("最小公倍数为：%d", lcm);
运算完后，lcm的值即为6和8的最小公倍数，即lcm=24。
3. 完整代码实现
下面是一个完整的求最大公约数和最小公倍数的程序，其中使用了欧几里得算法来实现。
#include <stdio.h>
int gcd(int a, int b) {
int c;
while (b != 0) {
c = a % b;
a = b;
b = c;
}
return a;
}
int lcm(int a, int b) {
int lcm = a * b / gcd(a, b);
return lcm;
}
int main() {
int a = 30, b = 45;
printf("最大公约数为：%d\n", gcd(a, b));
printf("最小公倍数为：%d\n", lcm(a, b));
return 0;
}
在这个程序中，gcd函数用于求最大公约数，lcm函数用于求最小公倍数。程序中设定了a=30，b=45，可以自行修改这两个变量的值来测试程序的效果。
4. 总结
求最大公约数和最小公倍数是c语言中的一项常见操作，它们有非常广泛的应用。欧几里得算法是一种求最大公约数的有效方法，无论是对于两个数的计算还是多个数的计算，都能够得到正确的结果。在实际编程中，我们可以将求最大公约数和最小公倍数的代码封装成函数，方便多次调用。同时，对于比较大的数值，我们可以考虑使用更高效的算法，以提高程序的效率。